Produit scalaire et opérations

Propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) du plan et pour tout réel \(k\) :

\(\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u} \\\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\\\vec{u}\cdot (k\vec{v})=(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k \times(\vec{u}\cdot\vec{v})}\)

Exemples

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan tels que \(\Vert \vec{u} \Vert=4\), \(\Vert \vec{v} \Vert=5\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v}=7\).

Calculer \(2\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+3\vec{v}\right)\) et \((\vec{u}-\vec{v})^2\).

• \(2\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+3\vec{v}\right)=(2\vec{u})\cdot \vec{u}+(2\vec{u})\cdot(3\vec{v})\)
  \(\hphantom{2\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+3\vec{v}\right)}=2 \times (\vec{u}\cdot \vec{u})+ 6 \times (\vec{u}\cdot\vec{v})\)
  \(\hphantom{2\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+3\vec{v}\right)}=2 \times \Vert \vec{u} \Vert^2+ 6 \times (\vec{u}\cdot\vec{v})\)
  \(\hphantom{2\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+3\vec{v}\right)}=2 \times4^2+ 6 \times 7\)
  \(\hphantom{2\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+3\vec{v}\right)}=74\)
  
• \((\vec{u}-\vec{v})^2=(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})\)
  \(\hphantom{(\vec{u}-\vec{v})^2}=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}\)
  \(\hphantom{(\vec{u}-\vec{v})^2}=\Vert\vec{u}\Vert^2-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\Vert\vec{v}\Vert^2\)
  \(\hphantom{(\vec{u}-\vec{v})^2}=\Vert\vec{u}\Vert^2-2\times(\vec{u}\cdot\vec{v})+\Vert\vec{v}\Vert^2\)
  \(\hphantom{(\vec{u}-\vec{v})^2}=4^2-2 \times 7+5^2\)
  \(\hphantom{(\vec{u}-\vec{v})^2}=27\)